La comparaison des grandeurs des nombres réels constitue le fondement de toute la logique mathématique. Sur une droite numérique, chaque nombre réel correspond à un point unique. En observant la position d’un point, nous pouvons intuitivement percevoir « l’inégalité ».
Faits fondamentaux :
Faits fondamentaux :
- Si $a - b$ est un nombre positif, alors $a > b$ ;
- Si $a - b$ est égal à 0, alors $a = b$ ;
- Si $a - b$ est un nombre négatif, alors $a < b$.
Propriétés fondamentales des inégalités :
1. Transitivité : $a > b, b > c \Rightarrow a > c$
2. Addition : $a > b \iff a + c > b + c$
3. Multiplication : $c > 0 \Rightarrow ac > bc$ ; $c < 0 \Rightarrow ac < bc$
1. Transitivité : $a > b, b > c \Rightarrow a > c$
2. Addition : $a > b \iff a + c > b + c$
3. Multiplication : $c > 0 \Rightarrow ac > bc$ ; $c < 0 \Rightarrow ac < bc$
$$a > b \iff a - b > 0$$
1. Rassemblez les termes du polynôme : un carré $x^2$, trois bandes rectangulaires $x$, et deux carrés unités $1\times1$.
2. Commencez à les assemblers géométriquement.
3. Ils forment parfaitement un plus grand rectangle continu ! La largeur est $(x+2)$, la hauteur est $(x+1)$.
QUESTION 1
Laquelle des représentations suivantes concernant le modèle des relations d'inégalité est incorrecte ?
Une limitation de vitesse de $40\text{ km/h}$ sur un tronçon routier est représentée par $v \le 40$
La teneur en matières grasses $f$ du yaourt est au moins de $2.5\%$, représentée par $f > 2.5\%$
La somme de deux côtés d’un triangle est supérieure au troisième côté, représentée par $a + b > c$
La longueur du segment perpendiculaire $d_{\text{perp}}$ est inférieure ou égale à celle du segment oblique $d_{\text{obliq}}$, représentée par $d_{\text{perp}} \le d_{\text{obliq}}$
Correct ! « Au moins » signifie « supérieur ou égal », il devrait être représenté par $f \ge 2.5\%$.
Attention aux mots-clés : « au moins » inclut le cas d'égalité. Veuillez revoir le sens des symboles dans chaque option.
QUESTION 2
Le résultat de la comparaison entre $(x+3)(x+7)$ et $(x+4)(x+6)$ est :
$(x+3)(x+7) > (x+4)(x+6)$
$(x+3)(x+7) = (x+4)(x+6)$
$(x+3)(x+7) < (x+4)(x+6)$
Impossible à déterminer, cela dépend de la valeur de $x$
Correct. En calculant la différence : $(x^2+10x+21) - (x^2+10x+24) = -3 < 0$, donc le premier terme est inférieur au second.
Indice : Utilisez la méthode de différence. Développez les deux polynômes, puis soustrayez-les, et observez le terme constant du résultat.
QUESTION 3
Quelle est la base théorique fondamentale pour prouver les propriétés des inégalités 1, 3, 4 et 6 ?
Les faits fondamentaux sur la comparaison des grandeurs des nombres réels ($a > b \iff a - b > 0$)
La symétrie et la transitivité des égalités
La monotonie des fonctions
Les relations d'aire des figures géométriques
Correct. Toutes les propriétés fondamentales des inégalités sont déduites en utilisant la méthode de différence et en tenant compte des signes des opérations sur les nombres réels.
Rappel du début du cours : tous les raisonnements partent du signe de $a - b$.
QUESTION 4
Si $x$ est un nombre réel, la condition pour que $\sqrt{x^2 + x - 12}$ soit défini est :
$x > 3$ ou $x < -4$
$x \ge 3$ ou $x \le -4$
$-4 \le x \le 3$
$x \in \mathbb{R}$
Correct. Pour qu'une racine carrée soit définie, l'expression sous la racine doit être non négative, donc $x^2 + x - 12 \ge 0$. En résolvant, on obtient $(x+4)(x-3) \ge 0$, ce qui donne $x \ge 3$ ou $x \le -4$.
L'expression à l'intérieur de la racine carrée doit être supérieure ou égale à 0. C'est un problème d'inéquation quadratique à une variable.
QUESTION 5
Si $a > b$ et $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$, alors on a nécessairement :
$ab > 0$
$ab < 0$
$a > 0, b < 0$
$a < 0, b > 0$
Correct. De $\frac{1}{a} - \frac{1}{b} > 0$, on déduit $\frac{b - a}{ab} > 0$. Puisque $a > b$, on a $b - a < 0$. Pour que la fraction soit positive, le dénominateur $ab$ doit être négatif.
Indice : Effectuez une soustraction après avoir mis au même dénominateur pour $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$, puis analysez le signe du dénominateur $ab$ en fonction du signe de $a - b$.
QUESTION 6
Si $a, b > 0$ et $ab = a + b + 3$, trouvez l'intervalle possible pour $ab$.
$ab \ge 4$
$ab \ge 9$
$ab > 3$
$ab \ge 6$
Correct. De $a + b \ge 2\sqrt{ab}$, on déduit $ab - 3 \ge 2\sqrt{ab}$. En posant $t = \sqrt{ab}$, on obtient $t^2 - 2t - 3 \ge 0 \Rightarrow t \ge 3$, donc $ab \ge 9$.
Utilisez l'inégalité fondamentale $a + b \ge 2\sqrt{ab}$ pour effectuer une substitution et une transformation.
QUESTION 7
Parmi les affirmations suivantes concernant les propriétés des inégalités, laquelle est correcte ?
Si $a > b$ et $c > d$, alors $ac > bd$
Si $a > b$, alors $ac^2 > bc^2$
Si $a > b > 0$, alors $\frac{1}{a^2} < \frac{1}{b^2}$
Si $a > b$ et $c < d$, alors $a - c < b - d$
Correct. Puisque $a^2 > b^2 > 0$, en prenant l'inverse, le sens de l'inégalité change.
Option A manque de prérequis de positivité ; l'option B devient une égalité lorsque $c = 0$ ; l'option D devrait être $a - c > b - d$.
QUESTION 8
Étant donné $a > b$, la bonne démarche logique pour prouver que $\frac{a+b}{2} > b$ est :
Puisque $a > b$, alors $a + b > 2b$, donc $\frac{a+b}{2} > b$
Puisque $b < a$, alors $\frac{a}{2} < b$, donc cela ne peut pas être vrai
Découlant directement de l'inégalité fondamentale
L'égalité n'est possible que si $a = b$
Correct. En utilisant la propriété 3 (addition) : ajoutez $b$ aux deux côtés de $a > b$ pour obtenir $a + b > 2b$, puis utilisez la propriété 4 (multiplication) en divisant par 2.
Il s'agit d'une déduction simple basée sur la propriété d'addition des inégalités.
QUESTION 9
Une autoroute impose que la hauteur totale des véhicules et de leurs chargements $h$ ne dépasse pas $4\text{m}$, sa représentation mathématique est :
$h < 4$
$h \le 4$
$h > 4$
$0 < h \le 4$
Correct. « Ne pas dépasser » inclut la valeur égale à 4. Bien que physiquement $h > 0$, la description purement mathématique est $h \le 4$.
Mot-clé : « ne pas dépasser ».
QUESTION 10
Comparez les aires $S_1$ et $S_2$ du cercle (circonférence $L$) et du carré (circonférence $L$) :
$S_1 = S_2$
$S_1 > S_2$
$S_1 < S_2$
Impossible à comparer, cela dépend de la valeur de $L$
Correct. $S_1 = L^2 / 4\pi$, $S_2 = L^2 / 16$. Puisque $4\pi \approx 12.56 < 16$, un dénominateur plus petit donne une valeur plus grande, donc l'aire du cercle est plus grande.
Calculez et comparez les valeurs de $\frac{L^2}{4\pi}$ et $\frac{L^2}{16}$.
Défi : Conception optimale du coût d'un bassin de stockage
Modélisation et application combinée des inégalités
Construisez un bassin rectangulaire sans couvercle de volume $1200 \text{ m}^3$ et de profondeur $6 \text{ m}$. Le coût des parois est de 95 € par $\text{m}^2$, celui du fond est de 135 € par $\text{m}^2$. Comment concevoir la longueur et la largeur du bassin pour que le coût total reste inférieur à 70 000 € ?
Tâche 1
Établissez un modèle d'inéquation reliant le coût total $y$ à la longueur latérale $x$ du fond.
Soit $x$ mètres la longueur d'un côté du fond, alors l'autre côté mesure $\frac{1200/6}{x} = \frac{200}{x}$ mètres.
L'aire du fond est de $200 \text{ m}^2$, son coût est de $200 \times 135 = 27\,000$ €.
L'aire totale des parois est de $2 \times (x \times 6 + \frac{200}{x} \times 6) = 12\left(x + \frac{200}{x}\right)$.
Le coût total est $y = 27000 + 95 \times 12\left(x + \frac{200}{x}\right) = 27000 + 1140\left(x + \frac{200}{x}\right)$.
On exige que $y \le 70\,000$.
L'aire du fond est de $200 \text{ m}^2$, son coût est de $200 \times 135 = 27\,000$ €.
L'aire totale des parois est de $2 \times (x \times 6 + \frac{200}{x} \times 6) = 12\left(x + \frac{200}{x}\right)$.
Le coût total est $y = 27000 + 95 \times 12\left(x + \frac{200}{x}\right) = 27000 + 1140\left(x + \frac{200}{x}\right)$.
On exige que $y \le 70\,000$.
Tâche 2
求解不等式，确定长与宽的取值范围（精确到 $0.1 \text{ m}$）。
$27000 + 1140\left(x + \frac{200}{x}\right) \le 70000$
$1140\left(x + \frac{200}{x}\right) \le 43000 \Rightarrow x + \frac{200}{x} \le \frac{4300}{114} \approx 37.72$
En réarrangeant, on obtient $x^2 - 37.72x + 200 \le 0$.
En utilisant la formule des racines, on obtient $x \approx 6.4$ ou $x \approx 31.3$.
La longueur et la largeur doivent donc être comprises entre $6.4 \text{ m}$ et $31.3 \text{ m}$.
$1140\left(x + \frac{200}{x}\right) \le 43000 \Rightarrow x + \frac{200}{x} \le \frac{4300}{114} \approx 37.72$
En réarrangeant, on obtient $x^2 - 37.72x + 200 \le 0$.
En utilisant la formule des racines, on obtient $x \approx 6.4$ ou $x \approx 31.3$.
La longueur et la largeur doivent donc être comprises entre $6.4 \text{ m}$ et $31.3 \text{ m}$.
✨ Points clés
Méthode de différence,déterminez le signe,la relation d'ordredevient évidente.En multipliant par un nombre négatif,le signe change,la logique est rigoureusene jamais omettre!
💡 Les trois étapes de la méthode de différence
Première étape : « faire la différence ». Deuxième étape : « transformer » (souvent par factorisation ou complétion du carré). Troisième étape : « déterminer le signe ».
💡 Attention aux nombres négatifs !
Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d'une inégalité par un nombre négatif, n'oubliez pas de changer le sens de l'inégalité. C'est la zone où les erreurs sont les plus fréquentes.
💡 Conditions d'utilisation de l'inégalité fondamentale
Pour utiliser $\sqrt{ab} \le \frac{a+b}{2}$, il faut que : 1. les deux nombres soient positifs ($a, b > 0$), 2. le produit ou la somme soit fixe, 3. l'égalité soit atteinte lorsque $a = b$.
💡 Pensée équivalente
$a > b \iff a - b > 0$ est une équivalence bidirectionnelle, souvent utilisée comme première étape de transformation dans les preuves.
💡 Traduction du langage courant
« Au plus » correspond à $\le$, « au moins » à $\ge$, « dépasser » à $>$, « insuffisant » à $<$.